Question

9．如图所示，在三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，平面ACD⊥平面ABC．
（1）求证：AB⊥BD；
（2）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥AC，AB⊥DC，从而AB⊥平面BCD，由此能证明AB⊥BD．
（2）由V_C-ABD=V_D-ABC，能求出点C到平面ABD的距离．

解答 证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=BC=CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°
∴$AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵AC²+CD²=AD²，∴CD⊥AC，
又平面DAC⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥DC，
又AB⊥BC，BC∩DC=C，
∴AB⊥平面BCD，
又BD?平面BCD，∴AB⊥BD．
解：（2）∵V_C-ABD=V_D-ABC，
设点C到平面ABD的距离为h，
∴$\frac{1}{3}h•{S}_{△ABD}=\frac{1}{3}CD•{S}_{△ABC}$，
∵${S}_{△ABD}=2\sqrt{2}$，S_△ABC=2，
解得h=$\sqrt{2}$，
∴点C到平面ABD的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．