Question

10．已知函数f（x）=|x-1|+|x+a|
（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式|x-1|+|x+a|＞6
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-|3+a|存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，不等式|x-1|+|x+3|＞6等价变形，可得结论；
（Ⅱ）利用|x-1|+|x+a|≥|a+1|，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，不等式|x-1|+|x+3|＞6可化为
$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{1-x-x-3＞6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜1}\\{1-x+x+3＞6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+x+3＞6}\end{array}\right.$，…（3分）
解得x＜-4或x＞2，
∴不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜-4或x＞2}．…（5分）
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-|3+a|存在零点，则
∵|x-1|+|x+a|≥|a+1|，
∴|3+a|≥|a+1|，解得a≥-2．

点评 本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．