Question

18．如图在棱台ABC-FED中，△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，点G为△ABC的重心，N为AB的中点，点M是侧棱AF上的点且$\frac{AM}{AF}$=λ．
（1）档λ=$\frac{2}{3}$时，求证：GM∥平面DFN；
（2）若三棱锥M-BDE的体积V_M-BDE=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）连AG延长交BC于P，推出$\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$，证明GM∥PF，然后证明NP∥AC，推出NP∥DF，进一步证明GM∥平面DFN；
（2）由已知求出底面三角形BDE的面积，结合三棱锥M-BDE的体积求出M到底面的距离，由平行线截线段成比例可得λ的值．

解答 （1）证明：连AG延长交BC于P，
∵点G为△ABC的重心，∴$\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$，
又$\frac{AM}{AF}$=λ，∴$\frac{AG}{AP}=\frac{AM}{AF}=\frac{2}{3}$，
∴GM∥PF，
∵N为AB中点，P为BC中点，NP∥AC，又AC∥DF，
∴NP∥DF，得P、D、F、N四点共面，
∴GM∥平面DFN；
（2）解：∵BC=2，且P为BC中点，∴PC=1，
又CD=1，CD⊥CP，∴PD=$\sqrt{2}$，
在平行四边形BPDE中，可得${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×sin135°=\frac{1}{2}$，
设M到平面BDE的距离为h，
∵V_M-BDE=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×h=\frac{\sqrt{3}}{9}$，得h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又∵F到平面BDE的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A到平面BDE的距离为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{FM}{AF}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{AF}=λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了平行线截线段成比例的应用，是中档题．