Question

5．已知a，b∈R，定义运算“?”：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{aa-b≤1}\\{ba-b＞1}\end{array}\right.$，函数f（x）=（x²-2）?（x-1），x∈R，若方程f（x）-a=0只有两个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-2，-1]∪（1，2）
• B． （-2，-1]∪（1，2]
• C． [-2，-1]∪[1，2]
• D． （-2，-1]∪（1，2）

Answer 1

分析 根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x²-2）?（x-1）的解析式，并求出f（x）的解析式，函数y=f（x）-a的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=a图象的交点问题，结合图象求得实数a的取值范围．

解答 解：∵a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a-b≤1}\\{b，a-b＞1}\end{array}\right.$，函数f（x）=（x²-2）?（x-1），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，-1≤x≤2}\\{x-1，x＜-1或x＞2}\end{array}\right.$，
分别画出y=f（x）与y=a的图象，如图所示：
结合图象可得方程f（x）-a=0只有两个不同实数根，
则-2＜a≤-1，或1＜a≤2，
故选：B．

点评 本小题主要考查函数的零点与方程根的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．