Question

1．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，BA=BS=4．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）求点C到平面SAB的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：AD⊥BD，SA⊥BD，即可证明BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）利用等体积方法，求点C到平面SAB的距离．

解答 （Ⅰ）证明：△ADB中，由余弦定理可得BD=2，∴BD²+AD²=AB²，∴AD⊥BD．
取SD的中点E，连接DE，BE，则DE⊥SA，BE⊥SA，
∵DE∩BE=E，∴SA⊥平面BDE，
∴SA⊥BD，
∵SA∩AD=A，
∴BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）解：点C到平面SAB的距离=点D到平面SAB的距离h．
△SAD中，SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，∴S_△SAD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
△SAB中，BA=BS=4，SA=6，∴S_△SAB=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{16-9}$=3$\sqrt{7}$，
由等体积可得$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×2=\frac{1}{3}×3\sqrt{7}h$，∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的殴打，考查点面距离，考查体积的计算，属于中档题．