Question

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1，以及圆O：x²+y²=9，自椭圆上一点P，作圆O的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴与y轴的截距分别为a，b．
（1）若点P在第一象限且横坐标为4，求过点M，N，P的圆的方程；
（2）对于异于椭圆上顶点的任意点P，代数式

9

a2

+

25

b2

的值是否都恒为常数，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设知P（4，

9

5

），由于MN为O的切点，得M，N在以OP为直径的圆上，从而过点M，N，P的圆是以OP为直径的圆，由此能求出过点M，N，P的圆的方程．
（2）设P（x₀，y₀），由（1）知点M，N的坐标满足圆的方程：x²+y²-xx₀-yy₀=0，点M．N的坐标满足x²+y²=9，两式相减得直线MN的方程：xx₀+yy₀=9，所以x0=

9

a

，y0=

9

b

，由此求出

9

a2

+

25

b2

=

25

9

．

解答： 解：（1）由题设知椭圆C：

42

25

+

y2

9

=1，解得y=±

9

5

．
∵P在第一象限，∴P（4，

9

5

），
由于M，N为O的切点，则有OM⊥MP，ON⊥NP，
∴M，N在以OP为直径的圆上，
∴过点M，N，P的圆是以OP为直径的圆，
于是有(x-

4

2

)2+(y-

9 5

2

)2=

42+( 9 5 )2

4

，
∴过点M，N，P的圆的方程为：(x-2)2+(y-

9

10

)2=

481

100

．
（2）设P（x₀，y₀），由（1）知点M，N的坐标满足圆的方程：
(x-

x0

2

)2+(y-

y0

2

)2=

x02+y02

4

，即x²+y²-xx₀-yy₀=0，①
又点M，N在O上，点M．N的坐标满足x²+y²=9，②
②-①，得：xx₀+yy₀=9，
这就是直线MN的方程，截距为a=

9

x0

，b=

9

y0

，
∴x0=

9

a

，y0=

9

b

，
又点P（x₀，y₀）在椭圆上，

( 9 a )2

25

+

( 9 b )2

9

=1，
∴

9

a2

+

25

b2

=

25

9

．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查代数式的值是否恒为常数的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．