题目内容

已知椭圆的焦点为F1（-
5
，0），P（
3
2
，
3
）为椭圆上一点，直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点坐标为M（1，1）．
（1）求椭圆的方程．
（2）求线段AB的长．
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用椭圆的定义，求出a，从而可求b，即可求椭圆的方程．
（2）利用点差法，求出AB的斜率，可得直线AB的方程，代入椭圆方程，即可求线段AB的长．
解答： 解：（1）由题意，c=
5
，2a=
(
3
2
+
5
)2+3
+
(
3
2
-
5
)2+3
=6，
∴a=3，b=2，
∴椭圆的方程为
x2
9
+
y2
4
=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
4x12+9y12=36，4x22+9y22=36，
两式相减可得4（x1+x2）（x1-x2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0，
∵线段AB的中点坐标为M（1，1），
∴8（x1-x2）+18（y1-y2）=0，
∴直线AB的斜率为-
4
9
，
∴直线AB的方程为y-1=-
4
9
（x-1），即4x+9y-13=0，
与椭圆方程联立可得52x2-104x-155=0，
∴|AB|=
1+
16
81
•
4+4•
155
52
=
29003
39
．
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若椭圆C1：
x2
3
+
y2
b2
=1与双曲线C2：
x2
2
-
y2
b2
=1（b＞0）的四个交点恰好是一个正方形的四个顶点，则双曲线C2的离心率是（　　）
A、
3
2
B、
6
C、
7
D、3
2
在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
25
+
y2
9
=1，以及圆O：x2+y2=9，自椭圆上一点P，作圆O的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴与y轴的截距分别为a，b．
（1）若点P在第一象限且横坐标为4，求过点M，N，P的圆的方程；
（2）对于异于椭圆上顶点的任意点P，代数式
9
a2
+
25
b2
的值是否都恒为常数，并说明理由．
设曲线y=
x+1
x-1
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=
 
．
已知2013年2月10日春节．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f（x）（单位：元/kg）与时间x（x表示距2月10日的天数，单位：天，x∈（0，8]）的数据如下
时间x862
价格f（x）8420
（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系：f（x）=ax+b，f（x）=ax2+bx+c，f（x）=a•bx，f（x）=a•logbx，其中a≠0；并求出此函数；
（Ⅱ）为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函数h（x）=ex-（12-2m）x+39（x＞0），m称为控制系数．求证：当m＞ln2-1时，总有f（x）＜h（x）．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且经过点A（-1，-
3
2
）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如果斜率为
1
2
的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由．
（3）试求三角形AEF面积S取得最大值时，直线EF的方程．
设双曲线S：
x2
a2
-
y2
b2
=1，M（x0，y0）∉S，且x0y0≠0．N（λx0，λy0），其中
1
λ
=
x02
a2
-
y02
b2
．过点N的直线L交双曲线S于A，B两点，过点B作斜率为
b2x0
a2y0
的直线交双曲线S于点C．求证：A，M，C三点共线．
已知集合M={x|
1
2
≤x≤3}，函数g（x）=bx，f（x）=ln（ax2-2x+b），若函数f（x）的定义域为N，且M∩N=[
1
2
，
2
3
），M∪N=（-2，3]
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求关于x的方程g（x）+g（-|x|）=2的实数解．
已知f（3x+2）定义域为[2，6]．
（1）求f（x）定义域；
（2）求f（-x）定义域．

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