Question

已知动点P的轨迹是曲线C，满足点P到点F（-4，0）的距离与它到直线l：x=-1的距离|PQ|之比为常数，又点（2，0）在曲线C上．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在直线y=kx-2与曲线C交于不同的两点M和N，且线段MN的中点为A（1，1）．若存在求出求实数k的值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），且

|PF|

|PQ|

=e（常数），由已知条件推导出

|PF|

|PQ|

=

(x+4)2+y2

|x+1|

=2．由此能求出曲线C的方程．
（2）由

y=kx-2 x2 4 - y2 12 =1

，得（3-k²）x²+4kx-16=0，由此利用根的判别式能求出k的值．

解答： 解：（1）设P（x，y），且

|PF|

|PQ|

=e（常数），
∵点（2，0）在曲线C上，∴e=

2-(-4)

2-(-1)

=2．
∴

|PF|

|PQ|

=

(x+4)2+y2

|x+1|

=2．
整理，得曲线C的方程为：

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）由

y=kx-2 x2 4 - y2 12 =1

，得（3-k²）x²+4kx-16=0，
则

3-k2≠0 △=(4k)2-4×(3-k2)×(-16)＞0

，
解得-2＜k＜2，且k≠±

3

．
实数k的取值范围-2＜k＜2，且k≠±

3

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

x1+x2

2

=-

2k

3-k2

=1，
解得k=3或k=-1
-1∉{k|-2＜k＜2，且k≠±

3

}，故k=-1（舍去），
∴k=3．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．