题目内容
如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，| e1 |
| e2 |
| OP |
| e1 |
| e2 |
| OP |
（Ⅰ）求|
| OP |
（Ⅱ）过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A，B，试确定A，B的位置，使△OAB的面积最小，并求出最小值．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用数量积的定义和运算性质即可得出；
（2）设
=x
，
=y
．由A，P，B三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得
=λ
，利用向量坐标运算和共面向量基本定理可得：y=
＞0
（x＞1）．可得S△OAB=
xysin60°=
=
(x-1+
+2)，再利用基本不等式的性质即可得出．
（2）设
| OA |
| e1 |
| OB |
| e2 |
| AP |
| AB |
| x |
| x-1 |
（x＞1）．可得S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| x2 |
| x-1 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| x-1 |
解答：
解：（1）
•
=|
||
|cos60°=1×1×
=
．
∴|
|2=(
+
)2=
2+
2+2
•
=1+1+2×
=3，
∴|
|=
．
（2）设
=x
，
=y
．
∵A，P，B三点共线，∴存在实数λ使得
=λ
，
∴（1，1）-（x，0）=λ[（0，y）-（x，0）]，
∴
，
化为y=
＞0（x＞1）．
∴S△OAB=
xysin60°=
=
(x-1+
+2)≥
(2
+2)=
，当且仅当x=2时取等号．
此时△OAB是边长为2的等边三角形．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴|
| OP |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| 1 |
| 2 |
∴|
| OP |
| 3 |
（2）设
| OA |
| e1 |
| OB |
| e2 |
∵A，P，B三点共线，∴存在实数λ使得
| AP |
| AB |
∴（1，1）-（x，0）=λ[（0，y）-（x，0）]，
∴
|
化为y=
| x |
| x-1 |
∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| x2 |
| x-1 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| x-1 |
| ||
| 4 |
(x-1)•
|
| 3 |
此时△OAB是边长为2的等边三角形．
点评：本题考查了数量积的定义和运算性质、向量共线定理、向量坐标运算和共面向量基本定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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A、
| ||
B、
| ||
| C、2 | ||
| D、3 |
所示结构图中要素之间表示从属关系是（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
设双曲线S：