Question

若函数f（x）=

|x|

x+2

-ax²，其中a∈R，
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点；
（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，函数f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

|x|-2x2(x+2)

x+2

，令|x|-2x²（x+2）=0，可得

x≥0 x-2x3-4x2=0

…①或

x＜0 -x-2x3-4x2=0

…②，然后解不等式组，求出函数f（x）的零点即可；
（2）当a＞0，x＞0时，函数f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

x-ax3-2ax2

x+2

=

x(1-ax2-2ax)

x+2

，令f（x）=0，可得x（1-ax²-2ax）=0，解方程，求出函数f（x）在（0，+∞）内的零点即可；
（3）函数f（x）=

|x|

x+2

-ax²有四个不同的零点，①x=0时，f（0）=0，所以x=0是函数f（x）的一个零点；②当x≠0时，可得y=

|x|

x2

与y=a（x+2）的图象在平面直角坐标系中有3个不同的交点，分别画出它们的图象，判断出a的取值范围即可．

解答： 解：（1）当a=2时，函数f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

|x|-2x2(x+2)

x+2

，
令|x|-2x²（x+2）=0，
可得

x≥0 x-2x3-4x2=0

…①或

x＜0 -x-2x3-4x2=0

…②，
由①可得 x=0，x=

6

2

+1，或x=

6

2

-1；
由②可得x=

2

2

-1，
综上，当a=2时，函数f（x）的零点为x=0，x=

6

2

+1，x=

6

2

-1或x=

2

2

-1；
（2）当a＞0，x＞0时，
函数f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

x-ax3-2ax2

x+2

=

x(1-ax2-2ax)

x+2

，
令f（x）=0，
可得x（1-ax²-2ax）=0，
解得x=-1+

2

，x=0（舍去），或x=-1-

2

（舍去），
即函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点x=-1+

2

；
（3）函数f（x）=

|x|

x+2

-ax²有四个不同的零点，
①x=0时，f（0）=0，所以x=0是函数f（x）的一个零点；
②当x≠0时，可得y=

|x|

x2

与y=a（x+2）的图象在平面直角坐标系中有3个不同的交点，
分别画出它们的图象如下：
当y=a（x+2）与y=-

1

x

相切时，a=1，
所以若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围为（1，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．