Question

已知圆心为C的圆（x-1）²+y²=6内有点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．  
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程． 
（3）当△ACB的面积为

5

时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由条件利用两点式求得直线l的方程，化简可得结果．
（2）由CP和直线l垂直，求得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．
（3）若直线l的斜率不存在，检验满足△ACB的面积为

5

．若直线l的斜率k存在，用点斜式设出直线l的方程，由△ACB的面积为

5

，求得sin∠ACB=

5

3

，cosACB=

2

3

，由余弦定理求得弦长AB，可得得弦心距d=

2

．再利用点到直线的距离公式求得d，可得k的值，从而求得要求的直线l的方程．

解答： 解：（1）由于直线l经过定点P（2，2），当l经过圆心C（1，0）时，
由两点式求得直线l的方程为

y-0

2-0

=

x-1

2-1

，即 2x-y-2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，CP和直线l垂直，故直线l的斜率为

-1

KCP

=

-1

2-0 2-1

=-

1

2

，
用点斜式求得直线l的方程为 y-2=-

1

2

（x-2），即 x+2y-6=0．
（3）当△ACB的面积为

5

时，若直线l的斜率不存在，方程为x=2，代入圆的方程求得y=±

5

，
此时AB=2

5

，圆心C到直线l的距离为1，满足△ACB的面积为

5

．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k（x-2），即 kx-y+2-2k=0．
由于△ACB的面积为

1

2

•r•r•sin∠ACB=

1

2

×6×sin∠ACB=

5

，∴sin∠ACB=

5

3

，故cosACB=

2

3

，
由余弦定理可得AB²=r²+r²-2r•r•cosACB=6+6-12×

2

3

=4，
再由弦长公式求得弦心距d=

r2-( AB 2 )2

=

2

．
再利用点到直线的距离公式可得 d=

|k-0+2-2k|

k2+1

=

2

，求得k=-2+

6

，或k=-2-

6

，
故要求的直线l的方程为 （

6

-2）x-y+6-2

6

=0，或 （

6

+2）x+y-2

6

-6=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．