Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，设b_n=

an

3n

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据n≥2，a_n=S_n-S_n-1，求出数列{a_n}的通项公式，利用错位相减法，即可得到结论．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²，
∴当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1满足a_n=2n-1，
则a_n=2n-1，
则b_n=

an

3n

=

2n-1

3n

，
则数列{b_n}的前n项和为T_n=

1

3

+

3

32

+

5

35

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，
则

1

3

T_n=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，
两式相减得

2

3

T_n=

1

3

+2（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2•

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

-

1

3n

-

2n-1

3n+1

，
∴T_n=

3

2

（

1

3

+

1

3

-

1

3n

-

2n-1

3n+1

）=1-

3

2

（

1

3n

+

2n-1

3n+1

），
则数列{b_n}的前n项和为T_n=1-

3

2

（

1

3n

+

2n-1

3n+1

）．

点评：本题主要考查数列通项公式的计算，根据数列项满足的条件n≥2，a_n=S_n-S_n-1，是解决本题的关键，要求熟练掌握错位相减法进行数列求和．