Question

已知等差数列{a_n}的前n项和S_n能取到最大值，且满足：a₉+3a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0，对于以下几个结论：
①数列{a_n}是递减数列；
②数列{S_n}是递减数列
③数列{S_n}的最大项是S₁₀；
④数列{S_n}的最小的正数是S₁₉．
其中正确的结论的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列

分析：由前n项和S_n有最大值，可得数列{a_n}为递减数列，故①正确；设等差数列数列{a_n}的公差为d，可得2a₁+19d＜0，可得a₁₀+a₁₁＜0，结合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正确；又可得-9d＜a₁＜-

9

2

d．令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，解不等式组可得19≤n≤19，∴n=19，故④正确；由二次函数的性质可得②错误．

解答： 解：由前n项和S_n有最大值，可得数列{a_n}为递减数列，故①正确；
设等差数列数列{a_n}的公差为d，则有a₉+3a₁₁=4a₁+38d＜0，
化简可得2a₁+19d＜0，可得a₁＜-

19

2

d，变形可得（a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，
结合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正确；
又可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．
综上可得-9d＜a₁＜-

19

2

d，令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+

n(n-1)

2

d＞0，且 （n+1）a₁+

n(n+1)

2

d≤0
化简可得 a₁+

n-1

2

d＜0，且a₁+

n+1

2

d＞0，即 n＜-

2a1

d

+1，且 n＞-

2a1

d

．

再由-9d＜a₁＜-

19d

2

，可得 18＜-

2a1

d

＜19，∴19≤n≤19，∴n=19，故④正确；
由二次函数的性质可得②错误，综上①③④是正确的．
故答案为：①③④．

点评：题考查等差数列的性质，涉及二次函数的性质和不等式的性质，属中档题．