Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥AB，BD=

1

2

AE=2，点O、M分别为CE、AB的中点．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：对第（1）问，取AC中点F，连结FO，FB，先证四边形BDOF为平行四边形，即得OD∥FB，再由线面平行的判定定理得证；
对第（2）问，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，求得平面ODM的一个法向量

n

，通过向量

n

与

CD

的夹角探求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

解答： 解：（1）证明：如右图所示，取AC中点F，连结FO，FB，则FO为△CAE的中位线，∴FO∥AE，且FO=

1

2

AE，
∵BD∥AE，BD=

1

2

AE，∴FO∥BD，且FO=BD，∴四边形BDOF为平行四边形，∴OD∥FB，
又∵OD?平面ABC，FB?平面ABC，∴OD∥平面ABC．
（2）如右图所示，以C为坐标原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，
由题中数据知，C（0，0，0），D（0，4，2），M（2，2，0），O（2，0，2），
则

CD

=(0，4，2)，

OD

=(-2，4，0)，

MO

=(0，-2，2)，
设平面ODM的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • OD =0 n • MO =0

，得

-2x+4y=0 -2y+2z=0

，即

x=2y z=y

，
取y=1，得平面ODM的一个法向量为（2，1，1），从而cos＜

n

，

CD

＞=

n • CD

| n || CD |

=

4×1+2×1

6 • 20

=

30

10

，
设直线CD和平面ODM所成的角为θ，则θ+＜

n

，

CD

＞=90°，故sinθ=cos＜

n

，

CD

＞=

30

10

，
即直线CD和平面ODM所成角的正弦值为

30

10

．

点评：1．本题考查了线面平行的判定，关键是在已知平面内找一条线与已知直线平行，将线面平行转化为线线平行，将空间线面平行问题转化为平面线线平行问题，是解决空间几何问题的一种常用的化归思想．证线线平行的方法有：
①同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．
②公理4：平行于同一直线的两直线互相平行．
③构造或寻找中位线（三角形、平行四边形、梯形的中位线）、利用平行直线截线段成比例．常用手段是获取分点或中点，中点可借助平行四边形对角线的交点、等腰三角形底边中点等，必要时应添加辅助线．
④平行四边形的性质（对边互相平行）．
2．还考查了线面角的求法，关键是寻找已知平面的一个法向量，将线面角转化为两向量夹角问题来处理，特别注意两向量夹角与线面角之间的关系：若两向量夹角为钝角，则线面角为此钝角减去90°；若两向量的夹角为锐角，则线面角为90°减去此锐角．