Question

【题目】若椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是椭圆上的一点，在轴上的射影恰为椭圆的左焦点，与中心的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于，试求椭圆的离心率及其方程．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：根据条件可得点P的坐标，由与中心的连线平行于右顶点与上顶点的连线可得b＝c，故a＝c，e＝＝，又a－c＝－，可得a＝，c＝，因此b＝，从而可得椭圆的标准方程。

试题解析：

设椭圆的标准方程为，

当，可得，

∴y2＝b2(1－)＝，

∴y＝±，

不妨设点P的坐标为(－c，)，

由条件可得椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)，

∵OP∥AB，

∴kOP＝kAB，

∴－＝－，

∴b＝c.

又a2＝b2＋c2＝2c2，

∴a＝c，

∴e＝＝，

又a－c＝－，

解得a＝，c＝，

∴b＝，

∴所求椭圆的离心率为，标准方程为＋＝1.