Question

【题目】已知圆，直线.

（1）证明：对任意实数，直线恒过定点且与圆交于两个不同点；

（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先化简直线方程：将m分离出来，列出方程组求出定点的坐标，判断出定点与圆的位置关系，可得到直线l与圆的位置关系；

（2）当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短，求出CD的斜率，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，结合定点的坐标求出直线l的方程．

（1）直线可化为，

由解得，所以直线恒过点，而点在圆内，

所以对任意实数，直线恒过点且与圆交于两个不同点.

（2）由（1）得，直线恒过圆内的定点，设过点的弦长为，过圆心向直线作垂线，垂足为弦的中点，则，弦长最短，则最大，而，当且仅当与重合时取等号，此时弦所在的直线与垂直，又过点，

所以，当直线被圆截得的弦长最小时，弦所在的直线方程为.