Question

11．已知x+y+z=1．
证明：（1）x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
（2）x²+y²+z²≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，平方，通过重要不等式，转化证明即可．
（2）利用平方化简，结合（1）即可推出结果．

解答 （本题满分12分）
证明：（1）∵x+y+z=1，∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1
又∵x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2xz，
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+zx），
即x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
（2）∵x+y+z=1，∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1
∴1=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）≤3（x²+y²+z²）．
∴x²+y²+z²≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查逻辑推理能力．