Question

16．已知两向量$\vec a$与$\vec b$满足$|{\vec a}|=4，|{\vec b}|=2$，且$（{\vec a+2\vec b}）•（{\vec a+\vec b}）=12$，则$\vec a$与$\vec b$的夹角为120°．

Answer 1

分析 将$（{\vec a+2\vec b}）•（{\vec a+\vec b}）=12$展开计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式计算．

解答 解：${\overrightarrow{a}}^{2}$=16，${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，
∵$（{\vec a+2\vec b}）•（{\vec a+\vec b}）=12$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2${\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=12，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\vec a$与$\vec b$的夹角为120°．
故答案为：120°．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．