Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₅=3a₅-2，a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），T_n是数列{b_n}的前n项和，若a_n+1≥λT_n，对任意正整数n都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意联立方程组，由此求出等差数列的首项和公差，从而能够求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）可得b_n=

1

anan+1

=

25

(2n-1)(2n+1)

=

25

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），T_n=

25

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

25

2

（1-

1

2n+1

）=

25n

2n+1

，
a_n+1≥λT_n，对任意正整数n都成立，即-

2n+1

5

≥λ•

25n

2n+1

对任意正整数n都成立，即λ≤-

4n2+4n+1

125n

，对任意正整数n都成立，令f（n）=-

4n2+4n+1

125n

，利用导数求出函数的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（1）S₅=3a₅-2，所以5a₁+

5×4×d

2

=3（a₁+4d）-2．①
因为a₁，a₂，a₅成等比数列，所以a₁（a₁+4d）=(a1+d)2．②
由①，②及d≠0可得：a₁=1，d=2．
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∵a_n+1≥λT_n，对任意正整数n都成立，
即2n+1≥λ•

n

2n+1

对任意正整数n都成立，
即λ≤

4n2+4n+1

n

，对任意正整数n都成立，
令f（n）=

4n2+4n+1

n

，则f^′（n）=8-

1

n2

＞0，
∴f（n）≥f（1）=9，
∴λ≤9．
∴实数λ的取值范围是（-∞，9]．

点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查恒成立问题的等价转化思想的运用能力．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．