Question

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，铺设一个对角线在L上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，使A+C=180°，且AB=BC．设AB=x米，cos A=f（x）．
（1）求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求y=

sinA

AB

的最大值，并指出相应的x值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（1）利用余弦定理，建立方程，解得cos A=

2

x

，即可求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）表示出y=

sinA

AB

，利用基本不等式求出最大值，并指出相应的x值．

解答： 解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC．
因为∠A和∠C互补，
所以AB²+AD²-2AB•AD•cosA=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=CB²+CD²+2CB•CD•cosA．…（4分）
即x²+（9-x）²-2x（9-x）cosA=x²+（5-x）²+2x（5-xcosA．
解得cosA=

2

x

，
即f（x）=

2

x

，其中x∈（2，5）…（7分）
(2)由(1)知，sinA=

1- 4 x2

，∴y=

1

x

1- 4 x2

x∈（2，5）…（9分）
∴y=

1

2

•

2

x

1- 4 x2

≤

1

2

•

4 x2 +(1- 4 x2 )

2

=

1

4

，…（11分）
当

4

x2

=1-

4

x2

⇒x2=8⇒x=2

2

时，ymax=

1

4

…（13分）

点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，正确运用余弦定理是关键．