Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=2，S_n+1=3S_n+n²+2（n∈N^*），设b_n=a_n+n，
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）若c_n=

n

bn

，T_n是数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜

4

5

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,不等式

分析：（1）首先根据递推关系是求出Sn=3Sn-1+(n-1)2+2，进一步求出a_n+1=3a_n+2n-1，最后利用顶一发来进行证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由（1）的结论进一步求出bn=3n，从而得出cn=

n

3n

，利用错位相减法求数列的前n项的和，最后用放缩法求的结果．

解答： （1）证明：S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n+1=3S_n+n²+2（n∈N^*）①，
则：Sn=3Sn-1+(n-1)2+2②
②-①得：a_n+1=3a_n+2n-1，
设b_n=a_n+n，
所以：

bn+1

bn

=

an+1+n+1

an+n

=

3an+3n

an+n

=3，（常数）
所以数列{b_n}是等比数列．
（2）证明：由（1）数列{b_n}是等比数列，
求得：bn=b13n-1=3n，
cn=

n

bn

=

n

3n

，
T_n=c₁+c₂+…+c_n-1+c_n=

1

31

+

2

32

+…+

n-1

3n-1

+

n

3n

，③

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

，④
③-④得：

2

3

Tn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

，
T_n=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2•3n

＜

3

4

＜

4

5

，
即：T_n＜

4

5

．

点评：本题考查的知识要点：用定义法证明等比数列，错位相减法的应用，放缩法的应用．