Question

等差列数{a_n}中，3a₁+2a₅=21，2a₄=a₃+a₆-2，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

1

Sn+1-1

，其前n项和为T_n，求证：T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由3a₁+2a₅=21，2a₄=a₃+a₆-2，利用等差数列的通项公式求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n．
（2）由a₁=1，d=2，知S_n=n²．从而得到b_n=

1

Sn+1-1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂项求和法证明T_n＜

3

4

．

解答： 解：（1）等差数列{a_n}中，
∵3a₁+2a₅=21，2a₄=a₃+a₆-2，
∴

3a1+2a1+8d=21 2a1+6d=a1+2d+a1+5d-2

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²．
∴b_n=b_n=

1

Sn+1-1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．属于中档题．