Question

对任意的正数s，t，有下列4个关系式：
①f（s+t）=f（s）+f（t）；
②f（s+t）=f（s）f（t）；
③f（st）=f（s）+f（t）；
④f（st）=f（s）f（t）．
则下列函数中，不满足任何一个关系式的是（　　）

• A、y=kx+b（kb≠0）
• B、y=x²
• C、y=a^x（a＞0，且a≠1）
• D、y=log_ax（a＞0，且a≠1）

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：①：对于A．f（s+t）=k（s+t）+b≠ks+b+kt+b，因此A不满足①；
对于B．f（s+t）=（s+t）²=s²+t²+2st≠s²+t²，因此B不满足①；
对于C．f（s+t）=a^s+t=a^s•a^t≠a^s+a^t，因此C不满足①；
对于D．f（s+t）=log_as+log_at=f（s）+f（t），因此D满足①．
同理对于②③④进行验证即可得出．

解答： 解：①：对于A．f（s+t）=k（s+t）+b≠ks+b+kt+b，因此A不满足①；
对于B．∵f（s+t）=（s+t）²=s²+t²+2st≠s²+t²，因此B不满足①；
对于C．∵f（s+t）=a^s+t=a^s•a^t≠a^s+a^t，因此C不满足①；
对于D．∵f（s+t）=log_as+log_at=f（s）+f（t），因此D满足①．
②：对于A．f（s+t）=k（s+t）+b，f（s）f（t）=（ks+b）（kt+b）=k²s²+bk（s+t）+b²≠ks+b+kt+b，因此A不满足②；
对于B．∵f（s+t）=（s+t）²=s²+t²+2st≠s²t²，因此B不满足②；
对于C．∵f（s+t）=a^s+t=a^s•a^t=f（s）f（t），因此C满足②．
③对于A．f（st）=kst+b，f（s）+f（t）=ks+b+kt+b，∴f（st）≠f（s）+f（t），因此A不满足①；
对于B．∵f（st）=s²t²≠s²+t²=f（s）+f（t），因此B不满足③；
④：对于A．f（st）=kst+b，f（s）f（t）=（ks+b）（kt+b）=k²s²+bk（s+t）+b²，
∴f（st）≠f（s）f（t），因此A不满足④．
对于B．∵f（st）=s²t²=f（s）f（t），因此B满足④．
综上可得：只有A不满足任何一个关系式．
故选：A．

点评：本题考查了函数的运算性质，属于基础题．