Question

4．已知曲线C₁：y²=tx（y＞0，t＞0）在点M（$\frac{4}{t}$，2）处的切线与曲线C₂：y=e^x+1-1也相切，则tln$\frac{4{e}^{2}}{t}$的值为（　　）

• A． 4e²
• B． 8e
• C． 2
• D． 8

Answer 1

分析 利用曲线C₁：y²=tx（y＞0，t＞0）在点M（$\frac{4}{t}$，2）处的切线与曲线C₂：y=e^x+1-1也相切，求出t的值，则tln$\frac{4{e}^{2}}{t}$的值可求．

解答 解：曲线C₁：y²=tx（y＞0，t＞0），y′=$\frac{1}{2\sqrt{tx}}$•t，
x=$\frac{4}{t}$，y′=$\frac{t}{4}$，∴切线方程为y-2=$\frac{t}{4}$（x-$\frac{4}{t}$）
设切点为（m，n），则曲线C₂：y=e^x+1-1，y′=e^x+1，e^m+1=$\frac{t}{4}$，∴m=ln$\frac{t}{4}$-1，n=$\frac{t}{4}$-1，
代入$\frac{t}{4}$-1-2=$\frac{t}{4}$（ln$\frac{t}{4}$-1-$\frac{4}{t}$），解得t=4，
∴tln$\frac{4{e}^{2}}{t}$=4lne²=8．
故选D．

点评 本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．