题目内容
12．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且0＜α＜π（Ⅰ）求tanα的值
（Ⅱ）求$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+sinαcosα-cos2α-1}$的值．
分析 （Ⅰ）由sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，两边平方得：$2sinαcosα=-\frac{3}{5}$，再由α的范围求出sinα-cosα，进一步得到sinα，cosα的值，则tanα的值可求；
（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式化简$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+sinαcosα-cos2α-1}$，再把tanα的值代入计算得答案．
解答 解：（Ⅰ）由sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，两边平方得：$2sinαcosα=-\frac{3}{5}$，
∵0＜α＜π，
∴$sinα-cosα=\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴$sinα=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$cosα=-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故$tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}=-3$；
（Ⅱ）$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+sinαcosα-cos2α-1}$=$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+tanα-2}$
=$\frac{2×（-3）}{（-3）^{2}-3-2}=-\frac{3}{2}$．
点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数的基本关系的应用以及三角函数的诱导公式，是中档题．
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