Question

5．已知f（x）=（log_mx）²+2log_mx-3（m＞0，且m≠1）．
（Ⅰ）当m=2时，解不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）f（x）＜0在[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=2时，可得（log₂x）²+2log₂x-3＜0，即为-3＜log₂x＜1，由对数函数的单调性，可得不等式的解集；
（Ⅱ）由f（x）＜0在[2，4]恒成立，得-3＜log_mx＜1在[2，4]恒成立，讨论m＞1，0＜m＜1，解出x的范围，再由恒成立思想，可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）＜0，
可得（log₂x）²+2log₂x-3＜0，
即为-3＜log₂x＜1，
解得$\frac{1}{8}$＜x＜2，
故原不等式的解集为{x|$\frac{1}{8}$＜x＜2}；
（Ⅱ）由f（x）＜0在[2，4]恒成立，
得-3＜log_mx＜1在[2，4]恒成立，
①当m＞1时，解得m^-3＜x＜m，
即有m^-3＜2且4＜m，
解得m＞4；
②当0＜m＜1时，解得m＜x＜m^-3，
即有m^-3＞4且m＜2，
解得0＜m＜$\frac{1}{\root{3}{4}}$．
故实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{\root{3}{4}}$）∪（4，+∞）．

点评 本题考查对数不等式的解法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及不等式的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．