Question

16．若正实数a，b满足（2a+b）²=1+6ab，则$\frac{ab}{2a+b+1}$的最大值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 正实数a，b满足（2a+b）²=1+6ab，可得ab=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6}$，由（2a+b）²=1+6ab≤1+$3×（\frac{2a+b}{2}）^{2}$，解得2a+b≤2．于是$\frac{ab}{2a+b+1}$=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6（2a+b）+6}$=$\frac{2a+b-1}{6}$，即可得出．

解答 解：∵正实数a，b满足（2a+b）²=1+6ab，
∴ab=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6}$．
∵（2a+b）²=1+6ab≤1+$3×（\frac{2a+b}{2}）^{2}$，
解得2a+b≤2．当且仅当b=2a=1取等号．
则$\frac{ab}{2a+b+1}$=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6（2a+b）+6}$=$\frac{2a+b-1}{6}$≤$\frac{2-1}{6}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{ab}{2a+b+1}$的最大值为$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．