题目内容
9．函数f（x）满足：对?x∈R+都有f′（x）=$\frac{3}{x}$f（x），且f（22016）≠0，则$\frac{f（{2}^{2017}）}{f（{2}^{2016}）}$的值为（ ）| A． | 0.125 | B． | 0.8 | C． | 1 | D． | 8 |
分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，得到f（x）=cx3，代值计算即可．
解答 解：∵f′（x）=$\frac{3}{x}$f（x），
∴xf′（x）-3f（x）=0，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{3}f′（x）-3{x}^{2}f（x）}{{x}^{6}}$=$\frac{{x}^{2}[xf′（x）-3f（x）]}{{x}^{6}}$=0，
∴g（x）=c，（c常数），
∴f（x）=cx3，
∴$\frac{f（{2}^{2017}）}{f（{2}^{2016}）}$=$\frac{c（{2}^{2017}）^{3}}{c（{2}^{2016}）^{3}}$=23=8，
故选：D
点评 本题考查了导数的运算和函数值的求法，关键是构造函数，属于中档题
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| A． | 0个 | B． | 1个 | ||
| C． | 2个 | D． | 不确定，随k的变化而变化 |