Question

已知函数f（x）=

px+2

x2+1

（其中p为常数，x∈[-2，2]），若对任意的x，都有f（x）=f（-x）
（1）求p的值；
（2）用定义证明函数f（x）在（0，2）上是单调减函数；
（3）若p=1，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）任意x∈R恒成立，代入解析式结合比较系数法，可得实数p的值；
（2）由（1）知函数解析式为f(x)=

2

x2+1

，再设0＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）与f（x₂）作差，因式分解后经过讨论可得f（x₁）＞f（x₂），因此，函数f（x）在（0，2）上是单调减函数；
（3）利用导数，结合函数图象进行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴

-px+2

x2+1

=

px+2

x2+1

，
可得2px=0对任意x∈R恒成立，故p=0．
（2）由（1）知函数解析式为f(x)=

2

x2+1

，
设0＜x₁＜x₂＜2，
∵f(x1)-f(x2)=

2

x12+1

-

2

x22+1

=

2(x2-x1)(x2+x1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（0，2）上是单调减函数；
（3）∵p=1，
∴y=

x+2

x2+1

，其图象如下图所示：


根据图象，得到f′(x)=

x2+1-2x(x+2)

(x2+1)2

，
f′（x）=0，∴x=-2±

5

，
当x=-2+

5

时，函数有最大值，
f(-2+

5

)=

-2+ 5 +2

(-2+ 5 )2+1

=

5

10-4 5

，
=

5

2

-1，
∴y∈[0，

5

2

-1]．

点评：本题在含有参数的分式函数的奇偶性已知的情况下，求参数的值并且讨论了函数的单调性，着重考查了函数的单调性与奇偶性等知识点，属于中档题．