Question

已知中心在原点的椭圆C的离心率e=

5

3

，一条准线方程为

5

x-9=0，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若以k（k＞0）为斜率的直线l与椭圆C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

25

74

，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆C的离心率e=

5

3

，一条准线方程为

5

x-9=0，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线l的方程，代入椭圆的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．

解答： 解：（1）由已知设设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题设得

c a = 5 3 a2 c = 9 5

，解得

a=3 c= 5

，
∴b=

a2-c2

=4，
∴椭圆C的标准方程为

x2

9

+

y2

4

=1---------（4分）
（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m（k＞0）
代入椭圆方程，消去y得（4+9k²）x²+18kmx+9m²-36=0　①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

18km

9k2+4

，y₁+y₂=

8m

9k2+4

线段MN的中点坐标（x₀，y₀）满足x₀=-

9km

9k2+4

，y₀=

4m

9k2+4

，
从而线段MN的垂直平分线的方程为y-

4m

9k2+4

=-

1

k

（x+

9km

9k2+4

）．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为（-

5km

9k2+4

，0）、（0，-

5m

9k2+4

）
由题设可得

1

2

•|-

5km

9k2+4

||-

5m

9k2+4

|=

25

74

整理得m²=

(9k2+4)2

37k

（k＞0）②
由题意在①中有（18km）²-4（9k²+4）（9m²-36）＞0　　
整理得9k²+4-m²＞0
将②代入得9k²+4-

(9k2+4)2

37k

＞0　（k＞0），
即（9k²+4）[37k-（9k²+4）]＞0，
∴（9k-1）（k-4）＜0
∴

1

9

＜k＜4　　　　
∴k的取值范围是（

1

9

，4）．-----（12分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力，属于中档题．