题目内容
已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．
（1）?a∈R，试证明函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线经过定点；
（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围．
（1）?a∈R，试证明函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线经过定点；
（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，可得函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线，即可得出切线y=（1+a）（2x-1）经过定点(
，0)；
（2）分类讨论，a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得
＜-(
+
lnx)，求出右边对应函数的最值，即可求常数a的取值范围．
| 1 |
| 2 |
（2）分类讨论，a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得
| 1 |
| a |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
解答：
（1）证明：f′（x）=2x+a(1+
)…（1分）
∴f（1）=1+a，f′（1）=2+2a…（2分），
∴函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y-（1+a）=（2+2a）（x-1），
即y=（1+a）（2x-1）…（4分）
?a∈R，当x=
时，y=（1+a）（2x-1）=0，即切线y=（1+a）（2x-1）经过定点(
，0)…（5分）
（2）解：a=0时，f（x）=x2，
∵x＞0，∴点（x，x2）在第一象限…（6分）
依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0…（7分）
a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
从而“?x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立…（8分）
a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得
＜-(
+
lnx)…（9分）
设g(x)=-(
+
lnx)，g′(x)=
+
lnx…（10分）
g（x）≥g（1）=-1，从而
＜-(
+
lnx)＜-1，-1＜a＜0…（13分）
综上所述，常数a的取值范围-1＜a≤0…（14分）．
| 1 |
| x |
∴f（1）=1+a，f′（1）=2+2a…（2分），
∴函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y-（1+a）=（2+2a）（x-1），
即y=（1+a）（2x-1）…（4分）
?a∈R，当x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）解：a=0时，f（x）=x2，
∵x＞0，∴点（x，x2）在第一象限…（6分）
依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0…（7分）
a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
从而“?x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立…（8分）
a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得
| 1 |
| a |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
设g(x)=-(
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| x-1 |
| x3 |
| 2 |
| x3 |
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| g′（x） | - | 0 | + |
| g（x） | ↘ | 极小值 | ↗ |
| 1 |
| a |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
综上所述，常数a的取值范围-1＜a≤0…（14分）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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