Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax．
（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求a的最小值；
（2）若g(x)=

1

ex

，对?x1∈[

1

2

，2]，?x2∈[

1

2

，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，求a的范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）题目可转化成f′（x）=x²+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，再通过分离常数的方法求解；
（2）将“?x1∈[

1

2

，2]，?x2∈[

1

2

，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立”转化成“[f′（x）]_max≤[g（x）]_max”，x∈[

1

2

，2]，再进一步利用函数单调性分别求最大值．

解答： 解：（1）依题意知，f′（x）=x²+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，
∴a≥-x²-2x=-（x+1）²+1，而y=-（x+1）²+1在[1，+∞）单调递减，从而y_max=-3，
∴只需a≥-3．
∴a_min=-3．
（2）对?x1∈[

1

2

，2]，?x2∈[

1

2

，2]，使f′（x₁）≤g（x₂），
即[f′（x）]_max≤[g（x）]_max，f′（x）=（x+1）²+a-1在[

1

2

，2]单调递增，
∴f′（x）_max=f′（2）=8+a，
g（x）在[

1

2

，2]上单调递减，则g(x)max=g(

1

2

)=

e

e

，
∴8+a≤

e

e

，则a≤

e

e

-8．

点评：本题都需要将原题意转化成我们更为熟悉的知识，从而进一步给出解答．第一问中，学生往往容易忽视f′（x）≥0中的等号，从而造成错误；在第二问中，
对于“?”“?”的理解至关重要，需要我们更多的理解，才能够准确的转化题意，进行进一步解答．