Question

将水注入锥形容器中，其速度为4m³/min，设锥形容器的高为8m，顶口直径为6m，求当水深为5m时，水面上升的速度．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由题，依据图形得出V关于高度h的函数及高度h关于t的函数，利用导数研究其变化规律即可得出水面上升的速度．

解答： 解：设注入水tmin后，水深为hm，由相似三角形对应边成比例可
得水面直径为

3

4

hm，
这时水的体积为    V=

1

3

π(

3

8

h)2•h=

3π

64

h3…（4分）
由于水面高度h随时间t而变化，因而h是t的函数h=h（t）
由此可得水的体积关于时间t的导数为V′t=V′h•h′t=(

3π

64

h3)′•h′t=

9π

64

h2•h′t
由假设，注水速度为4m³/min，4t=

3π

64

h3∴4=

9π

64

h2•ht′
所以当h=5时，h_t'=

256

225π

m/min，
当水深为5m时，水面上升的速度

256

225π

m/min．        …（10分）
法（2）设t时刻水面的高度为hm
则

1

3

π(

3

8

h)2h=4th(t)=

3	256t π

…（4分）h′(t)=

3	256 π

1

3t 2 3

…（6分）
由h(t)=

3	256t π

=5t=

375

256

π…（8分）∴h′(

375

256

π)=

256

225π

m/min…（10分）

点评：本题考查建立函数模型及利用导数研究实际问题中事物变化的规律，导数在实际问题中有着广泛的运用