Question

如图，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，CE=2AF=2

2

，CE∥AF，AC⊥CE，

ME

=2

FM

．
（1）求证：CM∥平面BDF；
（2）求平面ADF与平面BDF的夹角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）可知CD、CB、CE两两垂直．建立如图空间直角坐标系C-xyz．利用

CM

∥

OF

证出CM∥OF；
（2）先求出平面ADF与平面BDF的一个法向量，利用两法向量的夹角求出二面角A-DF-B的大小．

解答： （1）证明：因为面ABCD⊥面ACEF，面ABCD∩面ACEF=AC，且AC⊥CE，
所以CE⊥面ABCD．
所以CD、CB、CE两两垂直．
可建立如图空间直角坐标系C-xyz．
则（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），F（2，2，

2

），E（0，0，2

2

，O（1，1，0）
由

ME

=2

FM

，可求得M（

4

3

，

4

3

，

4

3

2

）
所以

CM

=（

4

3

，

4

3

，

4

3

2

），

OF

=（1，1，

2

）．
所以

CM

=

4

3

OF

所以

CM

∥

OF

，
所以CM∥OF；
（2）解：因为CD⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量

CD

=（2，0，0）．
设平面BDF的法向量为

n

=（x，y，1），则

x-y=0 2x+ 2 =0

．
所以法向量

n

=（-

2

2

，

2

2

，1），
所以＜

CD

，

n

＞=

- 2

2× 2

=-

1

2

所以＜

CD

，

n

＞=

2π

3

，
由图可知二面角A-DF-B为锐角，
所以求平面ADF与平面BDF的夹角的大小为

π

3

．

点评：本题考查直线和平面平行的判定，异面直线夹角，二面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．