Question

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥，AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D，且PD=PC=

2

．
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）若A₁A=2，证明：PC∥平面AB₁D；
（3）若A₁A=a，试求当a为何值时，PC∥平面AB₁D？

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面平行的性质,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证明PD⊥平面PBC，只需证明PD垂直于平面PBC的两条相交直线即可，由 PD=PC=

2

可得PD⊥PC，而ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，容易证明BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，容易得到PD⊥BC，从而得证；
（2）证明PC∥C₁D，利用线面平行的判定定理，可得结论．
（3）当a=2时，PC∥平面AB₁D，利用线面平行的判定可得结论．

解答： （1）证明：因为 PD=PC=

2

，CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，
所以BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，
所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．
（2）解：长方体中AD∥BC，AD=BC，BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，
所以AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁
即A，D，B₁，C₁共面，
长方体中DD₁=AA₁=a=2，CD=AB=2，四边形CC₁D₁D是一个正方形，∠C₁DC=45°，
而∠PCD=45°，且CD、C₁D与PC在同一个平面内，
所以PC∥C₁D．                                         
又C₁D?面AB₁C₁D，PC?面AB₁C₁D，
所以PC∥面AB₁C₁D，即PC∥平面AB₁D．
（3）解：当a=2时，PC∥平面AB₁D．
当a=2时，四边形CC₁D₁D是一个正方形，所以∠C₁DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．
而PC⊥PD，C₁D与PC在同一个平面内，所以PC∥C₁D．
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．