Question

已知点（x，y）在圆（x-2）²+（y+3）²=1上．
（1）求x+y的最大值和最小值；
（2）求

y

x

的最大值和最小值；
（3）求

x2+y2+2x-4y+5

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）设x+y=z，利用直线和圆相切即可求出x+y的最大值和最小值；
（2）设k=

y

x

，利用斜率即可求出k的最大值和最小值；
（3）利用两点间的距离公式即可求

x2+y2+2x-4y+5

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）设x+y=z，即x+y-z=0，
当直线和圆相切时，圆心C（2，-3）到直线的距离d=

|2-3-z|

1+1

=

|z+1|

2

=1，
即|z+1|=

2

，解得z=

2

-1或z=-

2

-1，
故x+y的最大值为

2

-1，最小值为-

2

-1．
（2）设k=

y

x

，则直线方程为kx-y=0，
当直线和圆相切时，圆心（2，-3）到直线的距离d=

|2k+3|

1+k2

=1，
即3k²+12k+8=0，
解得k=

-6+2 3

3

或k=

-6-2 3

3

，
故

y

x

的最大值为

-6+2 3

3

和最小值

-6-2 3

3

；
（3）

x2+y2+2x-4y+5

=

(x+1)2+(y-2)2

，
则根式的几何意义为圆上点到定点D（-1，2）的距离，
则CD=

(-1-2)2+(-3-2)2

=

9+25

=

34

，
则

x2+y2+2x-4y+5

的最大值

34

+1，最小值为

34

-1．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．