题目内容

已知向量
a
、
b
满足|
a
|=1，|
b
|=
3
，且（3
a
-2
b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角为
 
．
考点：数量积表示两个向量的夹角
专题：平面向量及应用
分析：设
a
与
b
的夹角为θ，则由题意可得（3
a
-2
b
）•
a
=3-2×1×
3
cosθ=0，求得cosθ 的值，可得θ 的值．
解答： 解：∵向量
a
、
b
满足|
a
|=1，|
b
|=
3
，且（3
a
-2
b
）⊥
a
，设
a
与
b
的夹角为θ，
∴（3
a
-2
b
）•
a
=3
a
2-2
a
•
b
=3-2×1×
3
cosθ=0，
求得cosθ=
3
2
，∴θ=
π
6
，
故答案为：
π
6
．
点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知离心率为
6
3
的椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
某停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）．现有甲、乙两人在该场地停车，两人停车都不超过4小时．
（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为
1
3
，停车付费多于14元的概率为
5
12
，求甲停车付费6元的概率；
（2）若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲乙二人停车付费之和为28元的概率．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点．
（1）若椭圆的半焦距c=
3
，直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；
（2）若O（
OA
•
OB
=0为坐标原点），求证：
1
a2
+
1
b2
=2；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
，求椭圆长轴长的取值范围．
给定两个平面向量
OA
和
OB
，它们的夹角为120°．点C在以O为圆心的圆弧AB上，且
OC
=x
OA
+y
OB
，其中x，y∈R，则满足x+y≥
2
的概率为
 
．
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），过左焦点F1的弦AB的端点为A（m，1）、B（n，-3），△ABF2的内切圆半径为1，则椭圆离心率为
 
．
从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x-5|+|y-3|≤4的概率为
 
．
以下四个命题中：
①“直线l与曲线C相切”是“直线l与曲线C只有一个公共点”的充要条件；
②“若两直线l1⊥l2，则它们的斜率之积等于-1”的逆命题；
③f（x）是R上的可导函数，“若f′（x）＞0，则f（x）是R上的单调递增函数”的否命题；
④“f′（x0）=0”是“x0是f（x）的极值点”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为
 
．
如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2．下列说法不正确的是（　　）
A、E、F、G、H四点共面
B、GE与HF的交点在直线AC上
C、EF∥面DBC
D、GE∥面ADC

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