Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点．
（1）若椭圆的半焦距c=

3

，直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；
（2）若O（

OA

•

OB

=0为坐标原点），求证：

1

a2

+

1

b2

=2；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

ab=2 a2-b2=3

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

⊥

OB

，得x₁x₂+y₁y₂=0，由y1=1-x1 ，y₂=1-x₂，得2x₁x₂-（x₁+x₂）=0，由此能证明

1

a2

+

1

b2

=2．
（3）由e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

，知

1

3

≤1-

b2

a2

≤

1

2

，由此能求出长轴2a的取值范围．

解答： （1）解：∵椭圆的半焦距c=

3

，
直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，
∴2a•2b=8，
∴

ab=2 a2-b2=3

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点，
∴设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y1=1-x1 ，y₂=1-x₂，
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）=-1，①
又将y=1-x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∵△＞0，∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
代入①化简得

1

a2

+

1

b2

=2．
（3）解：∵e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

，
∴

1

3

≤1-

b2

a2

≤

1

2

，
∴

1

2

≤

b2

a2

≤

2

3

，
由（2）知b2=

a2

2a2-1

，
∴

1

2

≤

1

2a2-1

≤

2

3

，
∴

5

2

≤a≤

6

2

，
∴长轴2a∈[

5

，

6

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查等式成立的证明，考查椭圆长轴取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．