Question

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y2-8，动点P的轨迹与直线y=x+2交于C，D两点．
（1）求动点P的轨迹方程；    
（2）求弦长|CD|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y2-8，利用向量的数量积公式，化简，即可求动点P的轨迹方程；    
（2）联立

y=x+2 x2=2y

可得x²-2x-4=0，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求弦长|CD|．

解答： 解：（1）∵点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y2-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化为x²=2y．
∴动点P的轨迹方程为x²=2y；
（2）联立

y=x+2 x2=2y

可得x²-2x-4=0
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴|CD|=

1+1

•

22-4•(-4)

=2

10

．

点评：本题主要考查了利用向量的数量积的坐标表示求解点的轨迹方程，直线与抛物线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，主要考查了计算的能力．