Question

10．对函数f（x）=$\frac{cosx+m}{cosx+2}$，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{5}{4}$，6）
• B． （$\frac{5}{3}$，6）
• C． （$\frac{7}{5}$，5）
• D． （$\frac{5}{4}$，5）

Answer 1

分析 当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+$\frac{m-2}{3}$）＞m-1即可，当m＜2时，只要1+$\frac{m-2}{3}$＜2（m-1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．

解答 解：函数f（x）=$\frac{cosx+m}{cosx+2}$，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，
当m=2时，f（x）=$\frac{cosx+m}{cosx+2}$=1，
此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．
当m＞2时，f（x）∈[1+$\frac{m-2}{3}$，m-1]，
只要2（1+$\frac{m-2}{3}$）＞m-1即可，解得2＜m＜5．
当m＜2时，f（x）∈[m-1，1+$\frac{m-2}{3}$]，
只要1+$\frac{m-2}{3}$＜2（m-1）即可，解得$\frac{7}{5}$＜m＜2，
综上，实数m的取值范围（$\frac{7}{5}$，5），
故选：C．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．