Question

20．已知函数$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx$ （ω＞0）的图象与直线y=-2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（　　）

• A． $[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{7π}{6}]k∈{Z}$
• B． $[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]k∈{Z}$
• C． $[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{6}]k∈{Z}$
• D． $[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]k∈{Z}$

Answer 1

分析 利用三角恒等变换、正弦函数的周期性，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递减区间．

解答 解：∵函数$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx$=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）
的图象与直线y=-2的两个相邻公共点之间的距离等于π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
可得f（x）的单调递减区间是[得kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z，
故选：B．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．