Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆年C的方程；
（Ⅱ）设F₁，F₂是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F₁和F₂，求这个平行四边形面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知求得a=$\sqrt{2}$c，利用三角形的面积公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设过椭圆右焦点F₂的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，与椭圆方程联立得由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．

解答 解：（1）由勾股定理可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=丨F₁F₂丨，即2a²=4c²，则a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，
S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨×丨OP丨=$\frac{1}{2}$×2c×b=1，即b=c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设过椭圆右焦点F₂的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+2）y²+2ty-1=0，
由韦达定理，得：y₁+y₂=-$\frac{2t}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{\sqrt{8{t}^{2}+8}}{{t}^{2}+2}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
∴S_△OAB=${S}_{△O{F}_{1}A}$+${S}_{△O{F}_{1}B}$=，$\frac{1}{2}$丨OF丨•|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S_△OAB=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
令m=$\sqrt{1+{t}^{2}}$≥1，则S=f（m）=$\frac{4\sqrt{2}m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{2}}{m+\frac{1}{m}}$，
注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，
∴S_max=f（1）=4$\sqrt{2}$，
当且仅当m=1，即t=0时等号成立．
故这个平行四边形面积的最大值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、弦长公式、三角形面积计算公式、换元法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．