题目内容
已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断F（x）=f2（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
考点：函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：根据已知中函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0，可得当0＜x1＜x2时，0＞f（x1）＞f（x2），进而根据不等式的性质，可得f2（x1）＜f2（x2），结合函数单调性的定义，可得F（x）=f2（x）在（0，+∞）上的单调性．
解答：
证明：F（x）=f2（x）在（0，+∞）上为增函数，理由如下：
设0＜x1＜x2，
∵函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0，
∴0＞f（x1）＞f（x2），
则f2（x1）＜f2（x2），
即F（x1）＜F（x2），
故F（x）=f2（x）在（0，+∞）上为增函数．
设0＜x1＜x2，
∵函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0，
∴0＞f（x1）＞f（x2），
则f2（x1）＜f2（x2），
即F（x1）＜F（x2），
故F（x）=f2（x）在（0，+∞）上为增函数．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质和证明，不等式的基本性质，是函数单调性和不等式的简单综合应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=sinx-x，x∈R，△ABC为锐角三角形，则下列关系正确的是（ ）
| A、f（sinA）＞f（cosB） |
| B、f（sinA）＜f（cosB） |
| C、f（sinA）＞f（sinB） |
| D、f（cosA）＜f（cosB） |
过双曲线
-
=1的左焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=5，则这样的直线共有（ ）
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 5 |
| A、1条 | B、2条 | C、3条 | D、4条 |
AB为过椭圆
+
=1中心的弦，F（c，0）为它的焦点，则△FAB的最大面积为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、b2 | B、ab |
| C、ac | D、bc |
