Question

已知抛物线y²=2px（p≠0）及定点A（a，b），B（-a，0），ab≠0，b²≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M₁、M₂，当M变动时，直线M₁M₂恒过一个定点，此定点坐标为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（

y 2 0

2p

，y₀），M₁（

y 2 1

2p

，y₁），M（

y 2 2

2p

，y₂），由点A、M、M1共线可知得出方程，同理由点B、M、M2共线得，求出y₂，y₁，（x，y）是直线M1M2上的点
有两点式写出方程，恒成立，系数为0，即可得条件，求出点的坐标．

解答： 解：设M（

y 2 0

2p

，y₀），M₁（

y 2 1

2p

，y₁），M（

y 2 2

2p

，y₂），由点A、M、M1共线可知

y0-b

y 2 0 2p -a

=

y1-y0

y 2 1 2p - y 2 0 2p

，
得y1=

by0-2pa

y0-b

，同理由点B、M、M2共线得y2=

2pa

y0

．
设（x，y）是直线M1M2上的点，则

y2-y1

y 2 2 2p - y 2 1 2p

=

y2-y

y 2 2 2p -x

，
即y1y2=y（y1+y2）-2px，又y1=

by0-2pa

y0-b

，y2=

2pa

y0

，
则（2px-by）

y

2 0

+2pb•（a-x）y0+2pa•（by-2pa）=0．
当x=a，y=

2pa

b

时上式恒成立，即定点为（a，

2pa

b

）．
故答案为：（a，

2pa

b

）

点评：本题综合考查了直线抛物线，的位置关系，计算比较麻烦，做此题要仔细，认真，难度较大．