Question

已知直线y=x-1和椭圆

x2

m

+

y2

m-1

=1交于A、B两点，如果以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，求m的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可求出c，联立方程再用韦达定理简化运算，由题意可知

AF1

•

BF1

=0，从而求出m．

解答： 解：由题意，a²=m，b²=m-1，c²=1，
联立直线方程和椭圆方程可得

x2 m + y2 m-1 =1 y=x-1

，
消y化简可得，
（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可得，x₁+x₂=

2m

2m-1

，x₁x₂=

2m-m2

2m-1

；
∵

AF1

•

BF1

=0，
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又∵y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+1=0，
即

2m-m2

2m-1

+1=0，
解得m=2±

3

，
又∵m-1＞0，
∴m=2+

3

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，化简比较有技巧，属于中档题．