Question

已知函数f（x）=

lnx x ，x＞6 e-x(x3+3x2+ax+b)，x≤6

，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．
（1）当a=b=-3，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）-e^-x（x³+b-1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（-6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n-m）＜

5 6

36

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=b=-3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；
（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a的关系，从而证明不等式成立．

解答： （1）解：当x＞6时，f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1-lnx

x2

＜0，即f（x）在（6，+∞）单调递减；
当x≤6时，由已知，有f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，f'（x）=-x（x-3）（x+3）e^-x，知f（x）在（-∞，-3），（0，3）上单调递增，在（-3，0），（3，6）上单调递减．
综上，f（x）的单调递增区间为（-∞，-3）和（0，3）．
（2）解：当x≤6时，h（x）=e^-x（3x²+ax+1），h'（x）=e^-x[-3x²-（a-6）x+a-1]，
令φ（x）=3x²+（a-6）x+1-a，设其零点分别为x₁，x₂．
由

(a-6)2-4×3(1-a)＞0 φ(6)≥0 - a-6 6 ＜6 |x1-x2|＞2

解得-

73

5

≤a＜-2

3

或a＞2

3

．
（3）证明：g(x)=

ln(-x) -x ，x＜-6 ex(-x3+3x2-ax+b)，x≥-6

当x≥-6时，g'（x）=e^x[-x³+（6-a）x+（b-a）]，由g'（2）=0，得b=3a-4，
从而g'（x）=-e^x[x³+（a-6）x+（4-2a）]，因为g'（m）=g'（n）=0，
所以x³+（a-6）x+（4-2a）=（x-2）（x-m）（x-n），将右边展开，与左边比较系数得m+n=-2，mn=a-2，因为n＞2，所以m＜-4，n-m＞6，又f（x）在[6，+∞）单调递减，则f(n-m)＜f(6)=

ln6

6

，因为ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）²＜144＜150=(5

6

)2，即有6ln6＜5

6

，

ln6

6

＜

5 6

36

，从而f(n-m)＜

5 6

36

．

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．