Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上．P为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁PB；
（2）若AD=

3

，AB=BC=2，AC=2

2

，求三棱锥P-A₁BC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AB₁与A₁B交于点E，则PE∥B₁C，由此能证明B₁C∥平面A₁PB．
（2）由已知得AB⊥BC，AD⊥A₁B．由VP-A1BC=VA1-BCP，利用等积法能求出三棱锥P-A₁BC的体积．

解答： （1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴连接AB₁与A₁B交于点E，∴E为A₁B中点，
连接PE，∵P为AC的中点，∴PE∥B₁C
∵PE?A₁PBB₁C?A₁PB，
∴B₁C∥平面A₁PB．（4分）
（2）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，
AB=BC=2，AC=2

2

，AB²+BC²=AC²
∴AB⊥BC，
S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2，
∵P为AC的中点，S△BCP=

1

2

S△ABC=1，
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上，
∴AD⊥A₁B．
在Rt△ABD中，AD=

3

，AB=BC=2，
sin∠ABD=

AD

AB

=

3

2

，∠ABD=60°，
在Rt△ABA₁中，AA₁=AB•tan60°=2

3

，
∴VP-A1BC=VA1-BCP=

1

3

S△BCP•A1A=

1

3

×1×2

3

=

2 3

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．