Question

设不等式组

x≤4 y≥0 y≤nx(x∈N*)

所表示的平面区域为D_n，记D_n内整点的个数为a_n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．
（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D₂，再求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记数列{a_n}的前n项的和为S_n，试证明：对任意n∈N^*恒有

S1

22S2

+

S2

32S3

+…+

Sn

(n+1)2Sn+1

＜

5

12

成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a₂的值；
（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．

解答： 解：（1）D₂如图中阴影部分所示，
∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，
∴a₂=

5×9+5

2

=25．（3分）
（另解：a₂=1+3+5+7+9=25）
（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），
据题意有a_n=

5×(4n+1)+5

2

=10n+5．（6分）
（另解：a_n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）
（3）S_n=5n（n+2）．　（8分）
∵

Sn

(n+1)2Sn+1

=

n(n+2)

(n+1)2(n+1)(n+3)

=

1

(n+1)(n+3)

•

n(n+2)

(n+1)2

＜

1

(n+1)(n+3)

，
∴

S1

22S2

+

S2

32S3

+…+

Sn

(n+1)2Sn+1

＜

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

（

1

2

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+3

）=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）＜

5

12

　（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．