Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1满足：实轴长为

2

，离心率为

3

．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1．若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

a= 2 2 c a = 3 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线．
（2）设直线PQ的方程是y=x+b．由直线与圆相切，得b²=2．由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0．由此利用韦达定理结合已知条件能证明OP⊥OQ．
（3）当直线ON垂直于x轴时，O到直线MN的距离为

3

3

．当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y=kx由

y=kx 4x2+y2=1

，得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，由此能证明O到直线MN的距离是定值．

解答： （1）解：∵双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1满足：实轴长为

2

，离心率为

3

，
∴由已知得

a= 2 2 c a = 3 c2=a2+b2

，解得b=1，
∴双曲线方程为：

x2

1 2

-y2=1．
（2）证明：设直线PQ的方程是y=x+b．
∵直线与已知圆相切，
∴

|b|

2

=1，即b²=2．
由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则

x1+x2=2b x1x2=-b2-1

．
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2（-b²-1）+b•2b+b²=b²-2=0，
∴OP⊥OQ．
（3）证明：当直线ON垂直于x轴时，
|ON|=1，|OM|=

2

2

，则O到直线MN的距离为

3

3

．
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y=kx（显然|k|＞

2

2

），则直线OM的方程为y=-

1

2

x．
由

y=kx 4x2+y2=1

，得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，
∴|ON|²=

1+k2

4+k2

．
同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

．
设O到直线MN的距离为d，
∵（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
∴

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

3k2+3

k2+1

=3，即d=

3

3

．
综上，O到直线MN的距离是定值．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线垂直的证明，考查点到直线的距离为定值的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．