Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A，B为抛物线上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在A，B处的切线分别为l₁，l₂，且l₁⊥l₂，l₁与l₂相交于点D．
（Ⅰ）求点D的轨迹方程；
（Ⅱ）假设D点的坐标为（

3

2

，-1），问是否存在经过A，B两点且与l₁，l₂都相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)．由抛物线C：x²=2py（p＞0），可得y′=

x

p

．可得抛物线C在A，B处的切线l₁，l₂的斜率．由于l₁⊥l₂，可得x₁x₂=-p²．可得抛物线C在A，B处的切线方程．化简为：

x

2 1

-2xx1+2py=0，

x

2 2

-2xx2+2py=0．由于x₁≠x₂，可得x₁，x₂是一元二次方程t²-2xt+2py=0的两个实数根．即可得出．
（II）D点的坐标为（

3

2

，-1），可得p=2，抛物线的方程为：x²=4y．
假设存在经过A，B两点且与l₁，l₂都相切的圆．由（I）可得x₁，x₂是一元二次方程t²-3t-4=0的两个实数根．
可得A(-1，

1

4

)，B（4，4）．可得过点A与l₁垂直的直线方程，过点B与l₂垂直的直线方程，联立即可得出圆心坐标，进而得出半径．

解答： 解：（I）设A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)．
由抛物线C：x²=2py（p＞0），可得y′=

x

p

．
则抛物线C在A，B处的切线l₁，l₂的斜率分别为

x1

p

，

x2

p

．
∵l₁⊥l₂，∴

x1

p

×

x2

p

=-1，解得x₁x₂=-p²．
∴抛物线C在A，B处的切线分别为l₁：y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，
l₂：y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)，．
化简为：

x

2 1

-2xx1+2py=0，

x

2 2

-2xx2+2py=0．
∵x₁≠x₂，∴x₁，x₂是一元二次方程t²-2xt+2py=0的两个实数根．
∴x₁x₂=2py，
∴2py=-p²，解得y=-

p

2

．
∴点D的轨迹方程为：y=-

p

2

．
（2）∵D点的坐标为（

3

2

，-1），∴-

p

2

=-1，解得p=2．
∴抛物线的方程为：x²=4y．
假设存在经过A，B两点且与l₁，l₂都相切的圆．
则x₁，x₂是一元二次方程t²-3t-4=0的两个实数根．
取x₁=-1，x₂=4，∴A(-1，

1

4

)，B（4，4）．
过点A与l₁垂直的直线方程为：y-

1

4

=2(x+1)，化为8x-4y+9=0．
过点B与l₂垂直的直线方程为：y-4=-

1

2

（x-4），化为x+2y-12=0．
联立

8x-4y+9=0 x+2y-12=0

，解得

x= 3 2 y= 21 4

，
∴所求的圆的圆心为M(

3

2

，

21

4

)，半径r²=|MA|²=(

3

2

+1)2+(

21

4

-

1

4

)2=

125

4

．
故所求的圆的方程为(x-

3

2

)2+(y-

21

4

)2=

125

4

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切问题、利用导数的几何意义可得切线的斜率、圆的方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．